Функции: определение, свойства и способы задания

Понятие функции

Функция описывает зависимость между величинами. Исторически понятие функции развивалось на протяжении нескольких веков, начиная с работ Готфрида Лейбница в XVII веке и заканчивая современным строгим определением.

Исторический факт: Термин "функция" впервые был использован Готфридом Лейбницем в 1673 году для описания зависимости координат точки кривой от некоторого параметра.

Формальное определение

Функция — это зависимость, при которой каждому элементу x из множества X ставится в соответствие ровно один элемент y из множества Y:

f: X \to Y

Область определения

Область значений

Правило соответствия

Основные понятия и обозначения

Обозначения

y = f(x)

Аргумент (независимая переменная)

Значение функции (зависимая переменная)

Ключевые множества

D(f)

Область определения — множество всех допустимых значений аргумента x

E(f)

Область значений — множество всех соответствующих значений y

Г(f)

График функции — множество пар (x, f(x))

Способы задания функций

Аналитический способ

Функция задается с помощью формулы, выражающей зависимость y от x.

y = x^2 + 2x - 3

Пример: f(x) = 2x + 1, g(x) = sin(x)

Графический способ

Функция задается с помощью графика на координатной плоскости.

Табличный способ

Функция задается с помощью таблицы значений аргумента и функции.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	4	1	0	1	4

Словесный способ

Функция описывается словами, без использования формул или графиков.

"Каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат"

Пример: f(n) = n² для n ∈ ℕ

Классификация функций

По способу задания

Элементарные функции — функции, которые можно записать с помощью основных операций (y=sin(x)+x)
Сложные функции — композиции элементарных функций (y=sin(x²), y=f(g(x)))
Кусочно-заданные функции — функции, заданные разными формулами на разных промежутках
Неявные функции — функции, заданные уравнением F(x,y) = 0 (x²+y²-25=0)

По свойствам

Монотонные — возрастающие или убывающие на всей области определения
Ограниченные — существуют такие числа M и m, что m ≤ f(x) ≤ M
Четные — f(-x)=f(x), симметричны относительно оси OY (y(x)=x²)
Нечетные — f(-x)=-f(x), симметричны относительно начала координат (y(x)=x³)
Периодические — повторяющие свои значения через определенный интервал (y(x)=sin(x))

Важные свойства функций

Область определения

Множество всех значений x, для которых функция имеет смысл, т.е. для каждого значения x можно посчитать y.

Примеры ограничений:
• Знаменатель дроби ≠ 0
• Выражение под корнем ≥ 0
• Аргумент логарифма > 0
• Основание логарифма > 0 и ≠ 1

Область значений

Множество всех значений y, которые принимает функция.

Примеры:
• y = x²: E(f) = [0, ∞)
• y = x²+1: E(f) = [1, ∞)
• y = sin(x): E(f) = [-1, 1]
• y = eˣ: E(f) = (0, ∞)

Практическое применение функций

В науке и технике

Физика — зависимости между физическими величинами (законы движения, термодинамики)
Экономика — функции спроса и предложения, производственные функции
Инженерия — расчет конструкций, оптимизация параметров
Биология — моделирование роста популяций, биохимические процессы

В повседневной жизни

Финансы — расчет процентов по вкладам и кредитам
Медицина — дозировка лекарств в зависимости от веса пациента
Спорт — расчет траекторий мячей, оптимальные углы броска
Кулинария — пропорции ингредиентов в рецептах

Интересные факты о функциях

Функция Дирихле

Пример функции, которая не является непрерывной ни в одной точке: f(x) = 1, если x рационально, и f(x) = 0, если x иррационально. Эта функция была введена немецким математиком Петером Дирихле.

Кривая Коха

Пример фрактальной функции, которая непрерывна, но нигде не дифференцируема. Эта кривая демонстрирует, что непрерывность не гарантирует гладкость функции.

Свойства функций

Изучение свойств функций позволяет анализировать их поведение, строить графики и решать различные математические задачи.

Важность изучения: Свойства функций помогают предсказать поведение математических моделей в физике, экономике, инженерии и других науках, где функции описывают реальные процессы и зависимости.

Область определения и множество значений

Область определения D(f)

Множество всех значений аргумента x, при которых функция имеет смысл.

D(f) = \{x | f(x) \text{ определена}\}

Множество значений E(f)

Множество всех значений, которые может принимать функция.

E(f) = \{y | y = f(x), x \in D(f)\}

Пример: Для функции $f(x) = \sqrt{x}+1$
область определения: $D(f) = [0, +\infty)$ ,
множество значений: $E(f) = [1, +\infty)$ .

Четность и нечетность функций

Четная функция

Функция называется четной, если для любого x из области определения:

f(-x) = f(x)

Симметрия: График четной функции симметричен относительно оси OY.

Примеры: $f(x) = x^2$ , $f(x) = \cos x$ (четные функции).

Нечетная функция

Функция называется нечетной, если для любого x из области определения:

f(-x) = -f(x)

Симметрия: График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры: Нечетные функции: $f(x) = x^3$ , $f(x) = \sin x$ (нечетные функции).

Функция может быть ни четной, ни нечетной.

Монотонность функций

Возрастающая функция

Функция возрастает на промежутке, если для любых x₁, x₂ из этого промежутка:

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Убывающая функция

Функция убывает на промежутке, если для любых x₁, x₂ из этого промежутка:

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Неубывающая функция

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)

Невозрастающая функция

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)

Ограниченность функций

Ограниченная сверху

Функция ограничена сверху, если существует такое число M, что для любого x f(x)≤M:

\exists M: f(x) \leq M \quad \forall x \in D(f)

Ограниченная снизу

Функция ограничена снизу, если существует такое число m, что для любого x f(x)≥m:

\exists m: f(x) \geq m \quad \forall x \in D(f)

Ограниченная функция: Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. $\exists M > 0: |f(x)| \leq M \quad \forall x \in D(f)$ .

Периодичность функций

Функция называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 (период), что для любого x из области определения:

f(x + T) = f(x) \quad \forall x \in D(f)

Основной период

Наименьший положительный период функции. Например, для $f(x) = \sin x$ основной период равен $2\pi$ .

Примеры периодических функций

Тригонометрические функции
Функция Дирихле
Любая постоянная функция

Нули функции и точки экстремума

Нули функции

Нулем функции называется такое значение x₀, при котором значение функции равно нулю:

f(x_0) = 0

Нули функции — это точки пересечения графика с осью OX.

Точки экстремума

Точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума.

Локальный максимум

Локальный минимум

Асимптоты функций

Вертикальные асимптоты

Прямые вида x = a, где a — точка разрыва функции. Если $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ .

Горизонтальные асимптоты

Прямые вида y = b. Если $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ .

Наклонные асимптоты

Прямые вида y = kx + b. Определяются при $x \to \pm\infty$ .

Выпуклость и точки перегиба

Выпуклость (вогнутость)

Функция называется выпуклой вверх (вогнутой вниз) или выпуклой вниз (вогнутой вверх) на интервале в зависимости от поведения ее графика.

Точки перегиба

Точки, в которых функция меняет направление выпуклости. В точке перегиба вторая производная равна нулю или переходя через эту точку меняет знак.

Элементарные функции

Основные элементарные функции

Элементарные функции — это фундаментальные математические функции, которые служат строительными блоками для более сложных математических выражений. Они широко применяются во всех областях науки и техники.

Важность: Понимание элементарных функций необходимо для изучения математического анализа, дифференциальных уравнений и математического моделирования.

Линейная функция

y = kx + b

График: прямая линия

k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона)

b — свободный член (точка пересечения с OY)

Свойства:

Область определения: все действительные числа
Область значений: все действительные числа
При k ≠ 0 функция нечетная при b = 0
Монотонна на всей области определения

Квадратичная функция

y = ax^2 + bx + c

График: парабола

Ветви направлены: вверх при a > 0, вниз при a < 0

Вершина: $x_\text{в} = -\frac{b}{2a}$ $y_\text{в} =ax_\text{в}^2 + bx_\text{в} + c$

Свойства:

Область определения: все действительные числа
Область значений: [y_в, +∞) при a > 0, (-∞, y_в] при a < 0
Четная при b = 0 (симметрична относительно OY)
Имеет экстремум в вершине

Степенная функция

y = x^n

Свойства зависят от показателя степени n

Различают случаи: натуральные, целые, рациональные, действительные n

Основные случаи:

n > 0: проходит через (0,0) и (1,1)
n < 0: гиперболический характер
Четное n: функция четная
Нечетное n: функция нечетная

Показательная функция

y = a^x \quad (a > 0, a \ne 1)

Особые случаи:

• a > 1: возрастающая функция

• 0 < a < 1: убывающая функция

Свойства:

Область определения: все действительные числа
Область значений: (0, +∞)
Всегда проходит через точку (0, 1)
Не имеет нулей (y > 0 для всех x)
Ось OX — горизонтальная асимптота

Логарифмическая функция

y = \log_a x \quad (a > 0, a \ne 1)

Обратная к показательной функции

• a > 1: возрастающая функция

• 0 < a < 1: убывающая функция

Свойства:

Область определения: (0, +∞)
Область значений: все действительные числа
Всегда проходит через точку (1, 0)
Ось OY — вертикальная асимптота
$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$

Тригонометрические функции

Синус

y = \sin x

Область определения: R
Область значений: [-1, 1]
Нечетная, периодическая (T = 2π)
Нули: x = πk, k ∈ Z

Косинус

y = \cos x

Область определения: R
Область значений: [-1, 1]
Четная, периодическая (T = 2π)
Нули: x = π/2 + πk, k ∈ Z

Тангенс

y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}

Область определения: x ≠ π/2 + πk
Область значений: R
Нечетная, периодическая (T = π)
Вертикальные асимптоты

Котангенс

y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}

Область определения: x ≠ πk
Область значений: R
Нечетная, периодическая (T = π)
Вертикальные асимптоты

Обратные тригонометрические функции

Арксинус

y = \arcsin x

D: [-1, 1], E: [-π/2, π/2]

Арккосинус

y = \arccos x

D: [-1, 1], E: [0, π]

Арктангенс

y = \arctg x

D: R, E: (-π/2, π/2)

Особенность: Обратные тригонометрические функции возвращают угол по значению тригонометрической функции. Их графики симметричны графикам соответствующих тригонометрических функций относительно прямой y = x.

Практическое применение элементарных функций

Естественные науки

Линейные: равномерное движение, закон Гука
Квадратичные: свободное падение, оптимизация
Показательные: радиоактивный распад, рост популяций
Тригонометрические: колебания, волны, вращение

Техника и технологии

Логарифмические: шкалы измерений, алгоритмы
Степенные: масштабирование, подобие
Обратные тригонометрические: навигация, компьютерная графика
Все типы: математическое моделирование

Преобразования графиков

Преобразования графиков функций

Преобразования графиков позволяют получать новые графики из известных, применяя геометрические преобразования.

Практическая ценность: Знание преобразований помогает быстро строить сложные графики на основе простых, экономя время при решении задач и анализе функций.

Параллельный перенос (Сдвиг)

Сдвиг вдоль оси OX

y = f(x - a)

На a единиц:

Вправо при a > 0
Влево при a < 0

Все точки графика смещаются горизонтально

Сдвиг вдоль оси OY

y = f(x) + b

На b единиц:

Вверх при b > 0
Вниз при b < 0

Все точки графика смещаются вертикально

Пример: График $y = (x-2)^2 + 3$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Растяжение и сжатие

Преобразования вдоль оси OY

y = k \cdot f(x)

k > 1: растяжение в k раз

График "вытягивается" вертикально

0 < k < 1: сжатие в 1/k раз

График "сжимается" вертикально

Ось OX остается на месте, расстояния от оси OX умножаются на k

Преобразования вдоль оси OX

y = f(m \cdot x)

m > 1: сжатие в m раз

График "сжимается" горизонтально

0 < m < 1: растяжение в 1/m раз

График "растягивается" горизонтально

Ось OY остается на месте, расстояния до оси OY делятся на m

Запомните: Коэффициент при x влияет на горизонтальные преобразования обратным образом: m > 1 — сжатие, а не растяжение!

Отражение (Симметрия)

Отражение относительно оси OX

y = -f(x)

Эффект: График переворачивается "вверх ногами"

Все ординаты точек меняют знак

Отражение относительно оси OY

y = f(-x)

Эффект: График отражается как в зеркале

Левая и правая части графика меняются местами

Отражение относительно начала координат

y = -f(-x)

Комбинация двух отражений

Отражение относительно прямой y = x

x = f(y)

Для обратной функции

Преобразования с модулем

Модуль функции

y = |f(x)|

Правило построения:

Часть графика, где f(x) ≥ 0, остается без изменений
Часть графика, где f(x) < 0, отражается относительно оси OX

График всегда находится выше или на оси OX

Модуль аргумента

y = f(|x|)

Правило построения:

При x ≥ 0 график совпадает с f(x)
При x < 0 график симметричен правой части относительно оси OY

График всегда симметричен относительно оси OY

Важно: $y = |f(x)|$ и $y = f(|x|)$ — это разные преобразования! Первое отражает отрицательные части графика, второе делает график четным.

Комбинированные преобразования

Последовательность преобразований

При выполнении нескольких преобразований важно соблюдать правильный порядок:

Отражения
Растяжения/сжатия
Сдвиги (переносы)

Пример 1

y = 2f(3x - 6) + 4

Порядок: сжатие по OX → сдвиг по OX → растяжение по OY → сдвиг по OY

Пример 2

y = -|f(x + 2)| - 1

Порядок: сдвиг → модуль → отражение → сдвиг

Практические рекомендации

Алгоритм построения

Начните с базового графика известной функции
Применяйте преобразования в правильном порядке
Отмечайте ключевые точки (нули, экстремумы)
Проверяйте симметрию и асимптоты

Типичные ошибки

Неправильный порядок преобразований
Путаница с направлением сдвигов
Ошибки в коэффициентах растяжения/сжатия
Неверное применение модуля

Совет: Всегда проверяйте несколько ключевых точек после построения графика, чтобы убедиться в правильности преобразований.